RMSProp算法¶

:label:sec_rmsprop

:numref:sec_adagrad中的关键问题之一，是学习率按预定时间表$\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})$显著降低。虽然这通常适用于凸问题，但对于深度学习中遇到的非凸问题，可能并不理想。但是，作为一个预处理器，Adagrad算法按坐标顺序的适应性是非常可取的。

:cite:Tieleman.Hinton.2012建议以RMSProp算法作为将速率调度与坐标自适应学习率分离的简单修复方法。问题在于，Adagrad算法将梯度$\mathbf{g}_t$的平方累加成状态矢量$\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2$。因此，由于缺乏规范化，没有约束力，$\mathbf{s}_t$持续增长，几乎上是在算法收敛时呈线性递增。

解决此问题的一种方法是使用$\mathbf{s}_t / t$。对$\mathbf{g}_t$的合理分布来说，它将收敛。遗憾的是，限制行为生效可能需要很长时间，因为该流程记住了值的完整轨迹。另一种方法是按动量法中的方式使用泄漏平均值，即$\mathbf{s}_t \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1-\gamma) \mathbf{g}_t^2$，其中参数$\gamma > 0$。保持所有其它部分不变就产生了RMSProp算法。

算法¶

让我们详细写出这些方程式。

$$\begin{aligned} \mathbf{s}_t & \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{x}_t & \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \odot \mathbf{g}_t. \end{aligned}$$

常数$\epsilon > 0$通常设置为$10^{-6}$，以确保我们不会因除以零或步长过大而受到影响。鉴于这种扩展，我们现在可以自由控制学习率$\eta$，而不考虑基于每个坐标应用的缩放。就泄漏平均值而言，我们可以采用与之前在动量法中适用的相同推理。扩展$\mathbf{s}_t$定义可获得

$$ \begin{aligned} \mathbf{s}_t & = (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{s}_{t-1} \\ & = (1 - \gamma) \left(\mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{g}_{t-1}^2 + \gamma^2 \mathbf{g}_{t-2} + \ldots, \right). \end{aligned} $$

同之前在 :numref:sec_momentum小节一样，我们使用$1 + \gamma + \gamma^2 + \ldots, = \frac{1}{1-\gamma}$。因此，权重总和标准化为$1$且观测值的半衰期为$\gamma^{-1}$。让我们图像化各种数值的$\gamma$在过去40个时间步长的权重。

In [1]:

import math
        import torch
        from d2l import torch as d2l

In [2]:

d2l.set_figsize()
        gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
        for gamma in gammas:
            x = torch.arange(40).detach().numpy()
            d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
        d2l.plt.xlabel('time');

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从零开始实现¶

和之前一样，我们使用二次函数$f(\mathbf{x})=0.1x_1^2+2x_2^2$来观察RMSProp算法的轨迹。回想在 :numref:sec_adagrad一节中，当我们使用学习率为0.4的Adagrad算法时，变量在算法的后期阶段移动非常缓慢，因为学习率衰减太快。 RMSProp算法中不会发生这种情况，因为$\eta$是单独控制的。

In [3]:

def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
            g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
            s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
            s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
            x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
            x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
            return x1, x2, s1, s2
        
        def f_2d(x1, x2):
            return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
        
        eta, gamma = 0.4, 0.9
        d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))

epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000

接下来，我们在深度网络中实现RMSProp算法。

In [4]:

def init_rmsprop_states(feature_dim):
            s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
            s_b = torch.zeros(1)
            return (s_w, s_b)

In [5]:

def rmsprop(params, states, hyperparams):
            gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
            for p, s in zip(params, states):
                with torch.no_grad():
                    s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad)
                    p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
                p.grad.data.zero_()

我们将初始学习率设置为0.01，加权项$\gamma$设置为0.9。也就是说，$\mathbf{s}$累加了过去的$1/(1-\gamma) = 10$次平方梯度观测值的平均值。

In [6]:

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
        d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
                       {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);

loss: 0.247, 0.014 sec/epoch

简洁实现¶

我们可直接使用深度学习框架中提供的RMSProp算法来训练模型。

In [7]:

trainer = torch.optim.RMSprop
        d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9},
                               data_iter)

loss: 0.244, 0.017 sec/epoch

小结¶

RMSProp算法与Adagrad算法非常相似，因为两者都使用梯度的平方来缩放系数。
RMSProp算法与动量法都使用泄漏平均值。但是，RMSProp算法使用该技术来调整按系数顺序的预处理器。
在实验中，学习率需要由实验者调度。
系数$\gamma$决定了在调整每坐标比例时历史记录的时长。

练习¶

如果我们设置$\gamma = 1$，实验会发生什么？为什么？
旋转优化问题以最小化$f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2$。收敛会发生什么？
试试在真正的机器学习问题上应用RMSProp算法会发生什么，例如在Fashion-MNIST上的训练。试验不同的取值来调整学习率。
随着优化的进展，需要调整$\gamma$吗？RMSProp算法对此有多敏感？