线性回归的从零开始实现¶

:label:sec_linear_scratch

在了解线性回归的关键思想之后，我们可以开始通过代码来动手实现线性回归了。在这一节中，(我们将从零开始实现整个方法，包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器)。虽然现代的深度学习框架几乎可以自动化地进行所有这些工作，但从零开始实现可以确保我们真正知道自己在做什么。同时，了解更细致的工作原理将方便我们自定义模型、自定义层或自定义损失函数。在这一节中，我们将只使用张量和自动求导。在之后的章节中，我们会充分利用深度学习框架的优势，介绍更简洁的实现方式。

In [1]:

%matplotlib inline
        import random
        import torch
        from d2l import torch as d2l

生成数据集¶

为了简单起见，我们将[根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。] 我们的任务是使用这个有限样本的数据集来恢复这个模型的参数。我们将使用低维数据，这样可以很容易地将其可视化。在下面的代码中，我们生成一个包含1000个样本的数据集，每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。我们的合成数据集是一个矩阵$\mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2}$。

(**我们使用线性模型参数$\mathbf{w} = [2, -3.4]^\top$、$b = 4.2$ 和噪声项$\epsilon$生成数据集及其标签：

$$\mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon.$$

**)

$\epsilon$可以视为模型预测和标签时的潜在观测误差。在这里我们认为标准假设成立，即$\epsilon$服从均值为0的正态分布。为了简化问题，我们将标准差设为0.01。下面的代码生成合成数据集。

In [2]:

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
            """生成y=Xw+b+噪声"""
            X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
            y = torch.matmul(X, w) + b
            y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
            return X, y.reshape((-1, 1))

In [3]:

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
        true_b = 4.2
        features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

注意，[features中的每一行都包含一个二维数据样本， labels中的每一行都包含一维标签值（一个标量）]。

In [4]:

print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])

features: tensor([1.4632, 0.5511]) 
        label: tensor([5.2498])

通过生成第二个特征features[:, 1]和labels的散点图，可以直观观察到两者之间的线性关系。

In [5]:

d2l.set_figsize()
        d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);

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读取数据集¶

回想一下，训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数，该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。

在下面的代码中，我们[定义一个data_iter函数，该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量]。每个小批量包含一组特征和标签。

In [6]:

def data_iter(batch_size, features, labels):
            num_examples = len(features)
            indices = list(range(num_examples))
            # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
            random.shuffle(indices)
            for i in range(0, num_examples, batch_size):
                batch_indices = torch.tensor(
                    indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
                yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

通常，我们利用GPU并行运算的优势，处理合理大小的“小批量”。每个样本都可以并行地进行模型计算，且每个样本损失函数的梯度也可以被并行计算。 GPU可以在处理几百个样本时，所花费的时间不比处理一个样本时多太多。

我们直观感受一下小批量运算：读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。同样的，批量的标签形状与batch_size相等。

In [7]:

batch_size = 10
        
        for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
            print(X, '\n', y)
            break

tensor([\[ 0.3934,  2.5705],
                [ 0.5849, -0.7124],
                [ 0.1008,  0.6947],
                [-0.4493, -0.9037],
                [ 2.3104, -0.2798],
                [-0.0173, -0.2552],
                [ 0.1963, -0.5445],
                [-1.0580, -0.5180],
                [ 0.8417, -1.5547],
                [-0.6316,  0.9732]\]) 
         tensor([\[-3.7623],
                [ 7.7852],
                [ 2.0443],
                [ 6.3767],
                [ 9.7776],
                [ 5.0301],
                [ 6.4541],
                [ 3.8407],
                [11.1396],
                [-0.3836]\])

当我们运行迭代时，我们会连续地获得不同的小批量，直至遍历完整个数据集。上面实现的迭代对教学来说很好，但它的执行效率很低，可能会在实际问题上陷入麻烦。例如，它要求我们将所有数据加载到内存中，并执行大量的随机内存访问。在深度学习框架中实现的内置迭代器效率要高得多，它可以处理存储在文件中的数据和数据流提供的数据。

初始化模型参数¶

[在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前]， (我们需要先有一些参数)。在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重，并将偏置初始化为0。

In [8]:

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
        b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。我们使用 :numref:sec_autograd中引入的自动微分来计算梯度。

定义模型¶

接下来，我们必须[定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。] 回想一下，要计算线性模型的输出，我们只需计算输入特征$\mathbf{X}$和模型权重$\mathbf{w}$的矩阵-向量乘法后加上偏置$b$。注意，上面的$\mathbf{Xw}$是一个向量，而$b$是一个标量。回想一下 :numref:subsec_broadcasting中描述的广播机制：当我们用一个向量加一个标量时，标量会被加到向量的每个分量上。

In [9]:

def linreg(X, w, b):  #@save
            """线性回归模型"""
            return torch.matmul(X, w) + b

[定义损失函数]¶

因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。这里我们使用 :numref:sec_linear_regression中描述的平方损失函数。在实现中，我们需要将真实值y的形状转换为和预测值y_hat的形状相同。

In [10]:

def squared_loss(y_hat, y):  #@save
            """均方损失"""
            return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

(定义优化算法)¶

正如我们在 :numref:sec_linear_regression中讨论的，线性回归有解析解。尽管线性回归有解析解，但本书中的其他模型却没有。这里我们介绍小批量随机梯度下降。

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每一步更新的大小由学习速率lr决定。因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size）来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

In [11]:

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
            """小批量随机梯度下降"""
            with torch.no_grad():
                for param in params:
                    param -= lr * param.grad / batch_size
                    param.grad.zero_()

训练¶

现在我们已经准备好了模型训练所有需要的要素，可以实现主要的[训练过程]部分了。理解这段代码至关重要，因为从事深度学习后，相同的训练过程几乎一遍又一遍地出现。在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。最后，我们调用优化算法sgd来更新模型参数。

概括一下，我们将执行以下循环：

初始化参数
重复以下训练，直到完成
- 计算梯度$\mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b)$
- 更新参数$(\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g}$

在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集，并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。我们现在忽略这些细节，以后会在 :numref:chap_optimization中详细介绍。

In [12]:

lr = 0.03
        num_epochs = 3
        net = linreg
        loss = squared_loss

In [13]:

for epoch in range(num_epochs):
            for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
                l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
                # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
                # 并以此计算关于[w,b]的梯度
                l.sum().backward()
                sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
            with torch.no_grad():
                train_l = loss(net(features, w, b), labels)
                print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

epoch 1, loss 0.042790
        epoch 2, loss 0.000162
        epoch 3, loss 0.000051

因为我们使用的是自己合成的数据集，所以我们知道真正的参数是什么。因此，我们可以通过[比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练的成功程度]。事实上，真实参数和通过训练学到的参数确实非常接近。

In [14]:

print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
        print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

w的估计误差: tensor([-1.3804e-04,  5.7936e-05], grad_fn=<SubBackward0>)
        b的估计误差: tensor([0.0006], grad_fn=<RsubBackward1>)

注意，我们不应该想当然地认为我们能够完美地求解参数。在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。幸运的是，即使是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解。其中一个原因是，在深度网络中存在许多参数组合能够实现高度精确的预测。

小结¶

我们学习了深度网络是如何实现和优化的。在这一过程中只使用张量和自动微分，不需要定义层或复杂的优化器。
这一节只触及到了表面知识。在下面的部分中，我们将基于刚刚介绍的概念描述其他模型，并学习如何更简洁地实现其他模型。

练习¶

如果我们将权重初始化为零，会发生什么。算法仍然有效吗？
假设试图为电压和电流的关系建立一个模型。自动微分可以用来学习模型的参数吗?
能基于普朗克定律使用光谱能量密度来确定物体的温度吗？
计算二阶导数时可能会遇到什么问题？这些问题可以如何解决？
为什么在squared_loss函数中需要使用reshape函数？
尝试使用不同的学习率，观察损失函数值下降的快慢。
如果样本个数不能被批量大小整除，data_iter函数的行为会有什么变化？